۱- جملات سمت راست را به عبارات مناسب در سمت چپ وصل کنید:
پاسخ تشریحی:
در این تمرین، هر عبارت ریاضی در سمت چپ با معادل کلامی آن در سمت راست مطابقت داده می‌شود:
* **۱) $a > 0, b < 0$ به (د) عدد a مثبت و عدد b منفی است.**
* **توضیح:** علامت $ > $ به معنای «بزرگتر از» است، پس $a > 0$ یعنی a مثبت است. علامت $ < $ به معنای «کوچکتر از» است، پس $b < 0$ یعنی b منفی است.
* **۲) $a > 0, b > 0$ به (الف) دو عدد a و b مثبت است.**
* **توضیح:** هر دو عدد بزرگتر از صفر و در نتیجه مثبت هستند.
* **۳) $a \geq 0$ به (ب) عدد a نامنفی است.**
* **توضیح:** عبارت $ a \geq 0 $ یعنی a بزرگتر یا مساوی صفر است. به اعدادی که منفی نیستند (یعنی صفر و اعداد مثبت)، «نامنفی» می‌گویند.
* **۴) $a < 0, b < 0$ به (ج) دو عدد a و b منفی است.**
* **توضیح:** هر دو عدد کوچکتر از صفر و در نتیجه منفی هستند.
* **۵) $a \leq 0$ به (ه) عدد a نامثبت است.**
* **توضیح:** عبارت $ a \leq 0 $ یعنی a کوچکتر یا مساوی صفر است. به اعدادی که مثبت نیستند (یعنی صفر و اعداد منفی)، «نامثبت» می‌گویند.
۲- هر عبارت سمت راست، نتیجه‌ی منطقی یک عبارت در سمت چپ است. عبارات مناسب را به هم وصل کنید:
پاسخ تشریحی:
این تمرین به بررسی قوانین ضرب و جمع اعداد مثبت و منفی می‌پردازد.
* **(الف) $a > 0, b > 0$ (هر دو مثبت) به (۲) $ab > 0, a+b > 0$**
* **توضیح:** حاصل‌ضرب دو عدد مثبت، عددی **مثبت** است ($ab > 0$) و حاصل‌جمع دو عدد مثبت نیز عددی **مثبت** است ($a+b > 0$).
* **(ب) $a < 0, b < 0$ (هر دو منفی) به (۳) $ab > 0, a+b < 0$**
* **توضیح:** حاصل‌ضرب دو عدد منفی، عددی **مثبت** است ($ab > 0$). اما حاصل‌جمع دو عدد منفی، عددی **منفی** است ($a+b < 0$).
* **(ج) $a < 0, b > 0$ (علامت‌های مختلف) به (۱) $ab < 0$**
* **توضیح:** حاصل‌ضرب دو عدد با علامت‌های مختلف، عددی **منفی** است ($ab < 0$). در مورد حاصل‌جمع آنها نمی‌توان به طور کلی نظر داد و به مقدار قدرمطلق اعداد بستگی دارد.
۳- هر عبارت سمت راست، نتیجه‌ی منطقی یک عبارت در سمت چپ است. عبارات مناسب را به هم وصل کنید:
پاسخ تشریحی:
این تمرین به بررسی تعریف و ویژگی‌های قدرمطلق می‌پردازد. به یاد داشته باشید که قدرمطلق یک عدد همواره **نامنفی** است ($|x| \geq 0$)
* **(الف) $a \geq 0$ (a نامنفی است) به (۲) $|a| = a$**
* **توضیح:** طبق تعریف، قدرمطلق یک عدد نامنفی (مثبت یا صفر) برابر با خود آن عدد است. برای مثال: $|۵| = ۵$.
* **(ب) $a > 0, b > 0$ (هر دو مثبت) به (۳) $|a+b| = a+b$**
* **توضیح:** وقتی a و b هر دو مثبت هستند، حاصل‌جمع آنها ($a+b$) نیز مثبت است. بنابراین قدرمطلق آن برابر با خود عبارت $a+b$ خواهد بود.
* **(ج) $a < 0$ (a منفی است) به (۱) $|a| = -a$**
* **توضیح:** طبق تعریف، قدرمطلق یک عدد منفی، برابر با قرینه‌ی آن عدد است تا حاصل مثبت شود. برای مثال: $|-۵| = -(-۵) = ۵$.
* **(د) $a < 0, b < 0$ (هر دو منفی) به (۴) $|a+b| = -(a+b)$**
* **توضیح:** وقتی a و b هر دو منفی هستند، حاصل‌جمع آنها ($a+b$) نیز منفی است. بنابراین قدرمطلق آن برابر با قرینه‌ی عبارت $a+b$ خواهد بود.
۴- عبارات زیر را به زبان ریاضی بنویسید و برای هر کدام مثال بنویسید:
۱) قدر مطلق حاصل‌ضرب دو عدد، مساوی با حاصل‌ضرب قدر مطلق آنهاست.
۲) قدر مطلق مجموع دو عدد، از مجموع قدر مطلق‌های آن دو عدد، کوچکتر یا مساوی با آن است.
پاسخ تشریحی:
**۱) قدر مطلق حاصل‌ضرب**
* **به زبان ریاضی:** برای هر دو عدد حقیقی a و b، داریم:
$ |a \times b| = |a| \times |b| $ یا به طور ساده‌تر $ |ab| = |a||b| $
* **مثال:** فرض کنیم $a = -۳$ و $b = ۴$:
* سمت چپ: $|ab| = |(-۳)(۴)| = |-۱۲| = ۱۲$
* سمت راست: $|a||b| = |-۳| \times |۴| = ۳ \times ۴ = ۱۲$
دو طرف با هم برابر هستند.
---
**۲) نامساوی مثلثی (قدر مطلق مجموع)**
* **به زبان ریاضی:** برای هر دو عدد حقیقی a و b، داریم:
$ |a + b| \leq |a| + |b| $
* **مثال ۱ (حالت تساوی):** زمانی که اعداد هم‌علامت باشند، تساوی برقرار است. فرض کنیم $a = -۲$ و $b = -۵$:
* سمت چپ: $|a+b| = |(-۲)+(-۵)| = |-۷| = ۷$
* سمت راست: $|a|+|b| = |-۲|+|-۵| = ۲+۵ = ۷$
در این حالت $ |a+b| = |a|+|b| $ است.
* **مثال ۲ (حالت کوچکتر):** زمانی که اعداد غیرهم‌علامت باشند، نامساوی برقرار است. فرض کنیم $a = -۲$ و $b = ۵$:
* سمت چپ: $|a+b| = |(-۲)+۵| = |۳| = ۳$
* سمت راست: $|a|+|b| = |-۲|+|۵| = ۲+۵ = ۷$
در این حالت $۳ \leq ۷$ و نامساوی $ |a+b| \leq |a|+|b| $ برقرار است.
